29가지 통계 개념 - ADF(Augmented Dicky Fuller) 검정

단위근 검정 방법 중 하나인 Augmented Dickey Fuller 검정에 대해 알아보자.

Augmented Dickey Fuller 검정이란 무엇인가?

Augmented Dickey Fuller(ADF) 검정은 정상성을 알아보기 위한 단위근 검정 방법이다. 단위근은 시계열 자료에서 예측할 수 없는 결과를 초래할 수 있다.

Augmented Dickey Fuller 검정은 자기 상관(serial correlation)과 함께 사용할 수 있다. ADF 검정은 Dickey-Fuller 검정보다 더 복잡한 모형들을 다룰 수 있으며, 더 강력하기도 하다. 그 말인 즉슨, 이 검정은 다른 단위근 검정과 마찬가지로 조심해서 사용해야 하는데, 그 이유는 다소 높은 제1종 오류율 때문이다.

가설

검정에 사용하는 가설은 다음과 같다.

  • 귀무가설($H_0$): 자료에 단위근이 존재한다.
  • 대립가설($H_1$): 시계열 자료가 정상성을 만족한다(또는 추세 정상성을 만족한다). 하지만 대립가설은 어떤 방정식을 사용하느냐에 따라 조금씩 다르다.

모형과 시차(lag) 선택하기

ADF 검정을 실시하기에 앞서, 적절한 회귀 모형을 찾아내기 위해 여러분의 자료를 검사해보아야 한다. 예를 들어, 평균이 0이 아니라면 회귀 모형에 상수항이 존재할 것이다. 기본적인 세 가지 회귀 모형은 다음과 같다:

  • 상수항도 없고, 추세(trend) 도 없는 경우: $\Delta y_t = Y_{y_{t-1}} + v_t$
  • 상수항은 있고, 추세(trend) 는 없는 경우: $\Delta y_t = \alpha + Y_{y_{t-1}} + v_t$
  • 상수항도 있고, 추세(trend) 도 있는 경우: $\Delta y_t = \alpha + Y_{y_{t-1}} + \lambda_t + v_t$

Augmented Dickey Fuller 는 이 모형들에 시차 차분(lagged differences) 을 더해준다:

  • 상수항도 없고, 추세(trend) 도 없는 경우: $\Delta y_t = Y_{y_{t-1}} + \sum_{s = 1}^m a_s \Delta y_{t-s} + v_t$
  • 상수항은 있고, 추세(trend) 는 없는 경우: $\Delta y_t = \alpha + Y_{y_{t-1}} + \sum_{s = 1}^m a_s \Delta y_{t-s} + v_t$
  • 상수항도 있고, 추세(trend) 도 있는 경우: $\Delta y_t = \alpha + Y_{y_{t-1}} + \lambda_t + \sum_{s = 1}^m a_s \Delta y_{t-s} + v_t$

검정을 시행하기 위해서는 시차의 길이를 선택해야 한다. 잔차들이 자기 상관(serially correlated을 가지지 않도록 시차의 길이를 선택해야만 한다. 시차를 정하는 데에는 여러가지 선택지가 있다: AIC 또는 BIC 를 최소로 하는 값을 선택하거나, 마지막 시차가 통계적으로 유의할 때까지 시차를 바꾸는 것이다.

소프트웨어 사용해서 구하기

비록 프로그램이 검정을 대신 해준다고 해도 그 결과를 해석하는 것은 여러분의 몫이다. 일반적으로 p-value 가 0.05 보다 작으면 단위근이 존재한다는 귀무가설을 기각할 수 있는 근거가 충분하다고 할 수 있다. 뿐만 아니라, 도표로 정리된 임계값(critical value)들과 $DF_{\tau}$ 통계량과 비교할 수도 있다. 만일 $DF_{\tau}$ 통계량이 표의 값들보다 더 작다면, 단위근이 존재한다는 귀무가설을 기각할 수 있는 근거가 충분하다고 할 수 있다. Note: DF 검정 통계량의 값이 더 작을 수록 단위근이 존재한다는 귀무가설을 기각할 수 있는 근거가 더 강력하다고 할 수 있다.

DF 검정 통계량:

$DF_{\tau} = \frac{\hat{\gamma}}{SE(\hat{\gamma})}$

critical values for DF t-distribution

Excel

Excel 은 ADF 검정을 위한 함수가 만들어져 있지는 않다. 하지만 회귀분석과 t 검정의 기능을 활용해서 여러분의 자료에 직접 실행할 수는 있다. 그 단계는 쉽지 않고, 여러 formula 를 요구한다(R 이나 SAS 같은 다른 소프트웨어에서는 훨씬 더 쉽다). principles of Econometrics 의 181-185쪽에서 필요한 설정과 공식을 명확한 그림으로 보여준다.

R

R 에서 ADF 검정을 실시하려면 tseries 패키지에서 adf.test 함수를 사용하면 된다. 이 함수에는 다음과 같은 여러 설정을 포함한다:

  • “c”(기본값): 상수항은 포함하지만 추세는 포함하지 않는 모형
  • “nc”: 상수항도, 추세도 포함하지 않는 모형
  • “ct”: 상수항과 추세를 포함하는 모형

R 에서 다른 함수들로는 forecast 패키지의 nsdiffs 함수와 fUnitRoots 패키지의 adfTest 가 있다.

Stata

dfgls 또는 dfuller 를 사용하면 된다.

SAS

PROC ARIMA 에서 ADF test 를 실행하면 된다.

참고 자료

Fuller, W. A. (1976). Introduction to Statistical Time Series. New York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-28715-6. Ogunc, A. & Hill, C. (2008) Using Excel: Companion to Principles of Econometrics, Third Edition. Retrieved January 4, 2017 from: http://econweb.tamu.edu/hwang/CLASS/Ecmt463/Lecture%20Notes/Excel/Excel_Lessons.pdf

출처: ADF - Augmented Dickey Fuller Test

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